lunes, 14 de enero de 2013

Acerca de las piezas de rithmomachia

Vamos a dedicar esta entrada a explicar los valores de las piezas de juego de rithmomachia; cada pieza del juego tiene dos caras: una blanca y una negra; sobre cada una de las caras va el mismo número; hay una excepción que comentaremos posteriormente. Te recordamos, lector, que las reglas (provisionales, hasta donde las conocemos) del juego están en la presentación Rithmomachia: batalla rítmica de los números, la cual puedes descargar desde este mismo enlace. En realidad, el conocimiento del tema que vamos a tratar en esta entrada no es necesario para poder jugar rithmomachia, pero este blog está hecho justamente para hablar de las interioridades o intimidades del juego.


Como de seguro saben quienes ya han leído la presentación anterior, el juego fue inventado como una manera de apoyar la enseñanza de la aritmética según se describe esta materia en el tratado De Institutione Arithmethica de Boecio. Este libro es una traducción libre de un manual de aritmética escrito por el pitagórico Nicómaco, en el siglo I d.C. (A la izquierda tenemos la portada de un ejemplar de una traducción al inglés. No ha sido fácil conseguir traducción castellana; si alguien conoce como llegar a alguna puede comunicarse con el club al correo electrónico club.rithmomachia.ucv@gmail.com.)



El pitagorismo permitió desarrollar mucha ciencia alrededor del concepto de número, pero sobre la base de una visión mística de este concepto. Bueno es agregar que lo que ellos concebían como número era distinto de nuestra propia concepción, la cual evolucionó a partir de la que nos legaron estos filósofos místicos.


Para los pitagóricos, el número (αριθμως, arithmos) denotaba lo múltiple, por lo cual solo era número lo que ahora los matemáticos conocen como entero positivo mayor que uno, es decir: 2, 3, 4, 5, etc.. Ni siquiera la unidad (μονας, monas) era un número, pues se refería a lo singular, lo que no tenía variedad en sí mismo. Sin embargo, la unidad constituía a los números: un número se hacía a partir de más de una unidad. Hoy esto es algo enredado, pero a ellos les sirvió para desarrollar un corpus matemático, cuya vigencia atravesó muchas épocas históricas y no fue sino hasta el siglo XIX que los matemáticos pudieron penetrar la verdadera generalidad del concepto.

El libro de Boecio comienza separando los números en pares e impares; el juego de rithmomachia se presenta como una batalla entre dos ejércitos de números uno de los cuales lleva los pares a la vanguardia, mientras que el otro se apoya en los impares. Estos números están escritos sobre piezas circulares. Los pares escogen mostrar su cara blanca, los impares su cara negra (algunas versiones lo hacen al contrario):


(A partir de esta fila generaremos nuevas filas con nuevos números y formas. Cada fila dependerá de la anterior a ella y, por lo tanto, de todas las anteriores a ella.)

Después de analizar las diferentes formas en que pueden definirse y clasificarse lo par y lo impar, Boecio estudia distintas maneras de transformar los números, es decir, hacer aparecer nuevos números a partir de números dados. A la primera de estas transformaciones se le llama Multiplex: es lo que hoy denominamos simplemente múltiplos del número: significa que un número está dentro de otro un cierto número de veces; por ejemplo, 12 es multiplex de 4, ya que lo contiene 3 veces. Una segunda fila de círculos en rithmomachia se obtiene colocando multiplex de la primera fila: cada número se repite tantas veces como él mismo; de esta manera aparecen los cuadrados de los números de la fila anterior:


Una segunda transformación de los números se llama Superparticularis; esto quiere decir que se toma el número más una parte de él. Por ejemplo, ya que 8 tiene mitad 4, 12 sería uno sus superparticularis pues 12=8+4; ya que 15 tiene tercera parte 5, entonces 20 es uno de sus superpaticularis: 20=15+5; pero, además, 18 también es superparticularis de 15, ya que 18=15+3 y 3 es la quinta parte de 15. Las siguientes dos filas de números en rithmomachia se escriben sobre piezas en forma de triángulos y corresponden a superparticularis, donde se transforman los números de la última fila, usando el número original como parte. Por ejemplo la tercera fila es:

en la que 6=4+2 (4 y su media parte), 20=16+4 (16 y su cuarta parte), ..., 12=9+3 (9 y su tercera parte), 30=25+5 (25 y su quinta parte), etc. Observa que la tercera fila viene siendo la suma de las dos primeras, ficha a ficha.

La fila de triángulos a continuación (la cuarta fila) proviene de esta última por superparticularis con el mismo procedimiento anterior, resultando

en la que se tiene 9=6+3 (6 y su media parte), 25=20+5 (20 y su cuarta parte), ..., 16=12+4 (12 y su tercera parte), 36=30+6 (30 y su quinta parte), etc. Se ve que esta fila está hecha de números cuadrados: a cada número de la primera fila se le suma 1 y el resultado se multiplica por sí mismo: 2+1=3, 3x3=9; 4+1=5, 5x5=25,..., 3+1=4, 4x4=16; 5+1=6, 6x6=36, etc..

La tercera transformación que se estudia en el libro de Boecio es la de los Superpartientes; lo que significa que se toma el número y varias partes de él. Es fácil notar lo pitagórico de estas dos últimas definiciones: varios es de naturaleza distinta de una. Algunos ejemplos nos pueden ayudar a comprender: 25 es superpartiente de 15 ya que 25=15+10 y 10 representa las dos terceras partes de 15; 56 es superpartiente de 35, ya que 56=35+21 y 21 representa las tres quintas partes de 35.

Las dos últimas filas que vamos a generar son de piezas cuadradas y los números sobre ellas son superpartientes de la última fila anterior. Vamos a tomar de cada número el mayor número de partes posibles sin abarcarlo completo; así, si vamos a dividir en dos partes solo podemos tomar una de esas partes; si vamos a dividir en tres partes, tomaremos dos de ellas; si vamos a dividir en cuatro partes, tomaremos tres de esas cuatro; etc. Entonces la siguiente fila de piezas es:


en donde 15=9+6 (9 más sus dos terceras partes); 45=25+20 (25 más cuatro quintas partes de 25); ...;  28=16+12 (16 más sus tres cuartas partes); 66=36+30 (36 más cinco de sus sextas partes); etc. En la práctica, esta fila de números proviene de sumar las últimas dos ya colocadas.

Pero, lector, debes tener alguna incomodidad, ¿no es cierto? Claro... ¿no dijimos que las piezas de esta fila eran cuadrados? ¿por qué los valores 91 y 190 tienen una forma tan extraña? En verdad, se trata de dos irregularidades: las llamamos pirámides, pero dejaremos su descripción para dentro de algunos párrafos, porque tenemos que terminar la última fila que vamos a construir. Por supuesto, que la construiremos a partir de la que acabamos de hacer, tomando los superpartientes correspondientes, de la misma manera en que se acaban de tomar, por lo que resulta:


donde vemos que 25=15+10 (15 más sus dos terceras partes); 81=45+36 (45 más sus cuatro quintas partes); ...; 49=28+21 (28 más sus tres cuartas partes); 121=66+55 (66 más cinco de sus sextas partes); etc. Cabe preguntarse si no hay fórmula que permita obtener estos números a partir de los de la primera fila; por supuesto que sí: tome el número de la primera fila, múltiplíquelo por 2, sume 1 y el resultado multiplíquelo por sí mismo: 2x2+1=5, 5x5=25; 2x4+1=9, 9x9=81; ...; 2x3+1=7, 7x7=49; 2x5+1=11, 11x11=121; etc.

(A los aficionados al álgebra no suele gustarles las descripciones verbales anteriores. Pero es un ejercicio sencillo realizar los cálculos simbólicos correspondientes.)


Resumamos con un gráfico único nuestras cuentas:
y ya tenemos todas las piezas con las que se juega rithmomachia. No es así como se colocan en el tablero de juego para comenzar las partidas. Nuestra presentación del juego te muestra cómo hacerlo.

Vamos a explicar finalmente que pasa con las dos irregularidades encontradas. La tradición pitagórica definió los números piramidales como aquellos que se obtienen sumando cuadrados consecutivos; los cuadrados consecutivos son 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, etc. La idea gráfica es que si coloco en una pila, de mayor a menor desde la base, un conjunto de cuadrados (hablamos de figuras), voy a obtener una pirámide. Los números 91 y 190 son números piramidales, en efecto 91=1+4+9+16+25+36 y 190=16+25+36+49+64. Sin embargo, los inventores de rithmomachia pensaron que una pieza como esta tenía que gozar de las propiedades de todas las piezas del tablero, por eso construyeron las pirámides con piezas, de tamaño descendente, de las tres formas distintas, como vemos a continuación:
Las piezas que constituyen las pirámides son la única excepción a la regla de que una pieza debe tener ambos colores: hay una pirámide blanca y una negra. La pirámide blanca termina en una cúspide cuyo valor es 1, lo cual resalta la visión pitagórica de la unidad como distinta de los números.

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