domingo, 6 de octubre de 2013

La comunidad judía le dice Baruj habá a Rithmomachia



Son las 12:30 pm del domingo 29 de septiembre de 2013. En la Facultad de Ciencias de la UCV se encontraban nuestro presidente Tomás Guardia y nuestro campeón Manuel Cristóbal listos para buscar al maestro de Rithmomachia Edgar Gomero. Estos miembros fundadores se dirigían hacia el Centro Cultural Hebraica “Gonzalo Benaim Pinto”. No fue difícil llegar al Centro Cultural, pues las facilidades que nos brinda Google Maps hacen que cualquier lugar del mundo sea muy sencillo de encontrar. Al entrar a las instalaciones del Hebraica, lo primero que percibimos fue un orden impecable y unas normas que todos cumplían al pie de la letra. Nuestra anfitriona del día Raquel Nuchi nos esperaba en el área de la piscina, en donde una gran mesa de madera se imponía ante la entrada principal, esperando a que se colocaran los tableros para comenzar el combate numérico.

 Pero antes, nos esperaba un menú  que variaba entre las opciones de una feria de centro comercial, que, de acuerdo con la tradición judía, tenían las comidas lácteas separadas de las proteínas. En fin, a sugerencia de Raquel, nuestros tres aventureros se decidieron por probar un plato típico judío. Era bastante parecido a la comida árabe (falafel, tabule, salsa de garbanzos, y pan pita) pero bien surtido con una deliciosa salsa de pimentones que mezclaban una explosión de sabores en el paladar. A decir verdad, la ensalada tabule era muchísimo mejor que aquellas que sirven en las ferias de comida. No es por hacerle propaganda a la comida, pero nuestros aventureros coincidieron en que estaba fenomenal. Tuvimos la grata compañía de Miriam, quien es profesora de la Universidad Metropolitana y de otro amigo (pedimos disculpas por no recordar su nombre) que le agrada mucho la matemática.  

Le avisan a Raquel que la periodista Anyimar Cova y la fotógrafa Gabriela Pulido del diario El Universal acababan de llegar al Hebraica y entonces nos disponemos a organizar los tableros, rodeados de niños y jóvenes que comenzaban hacer las preguntas de rigor “¿Cómo se llama este juego?”, “¿De qué se trata?” y muchas otras más. Las periodistas entrevistan a Raquel en su condición de directora del Centro Cultural y a nuestro presidente (haz click aqui para leer la entrevista), y de pronto, adultos, personas de la tercera edad, ya estaban rodeando los cuatro tableros que dispusimos para comenzar las partidas con las personas que se iban acercando por simple curiosidad, o bien para preguntar las reglas y eventualmente animarse a jugar una partida.
La actividad superó las expectativas, por casi tres horas iban y venían, niños, jóvenes, adultos y personas mayores a preguntar cualquier cosa acerca de Rithmomachia. Tuvimos la precaución de imprimir nuestro documento de reglas ¿Cómo se juega Rithmomachia? Y el encanto de todos los participantes no se hizo esperar. Nos felicitaron por llevar adelante el Club (cosa que sinceramente agradecemos) y traer el juego al Centro Cultural (lo hicimos con mucho gusto). Dos señores que esperaron pacientemente su turno para jugar y divertirse, disfrutaron como ninguno derrotar a nuestro presidente en su primera partida. Cosa que en lo personal nos agrada mucho ya que hemos venido insistiendo que para ser un hábil jugador solamente hace falta tener visión de juego y unos conocimientos elementales de aritmética. Sin embargo, nuestro campeón continuó invicto y, a pesar de que ninguno de los participantes pudo derrotarlo. Mostraron su gran satisfacción por haber visto Rithmomachia por primera vez en sus vidas. 

Una joven de 15 años pidió con ansias llevar el juego de los filósofos al Colegio. Esto lo haremos gustosamente cuando nuestra anfitriona logre cuadrar esta actividad en su apretada agenda. Un par de jóvenes que jugaron uno contra el otro se atrevieron a disputar una partida para ser ganada en victoria mayor y a pesar de nuestra insistencia de que comenzaran con una partida De Bonis, uno de los muchachos cantó victoria al colocar en progresión geométrica los círculos 2, 4 y 8 en el terreno de su adversario ¡Que audacia la de este joven! Pudo llegar más allá de lo que los propios miembros del Club no han logrado en casi un año de actividad. Esto nos llena de un placer indescriptible porque una vez más queda demostrado que no son los conocimientos matemáticos lo que importa sino las ganas de jugar la que llevarán a los jugadores a probar todos los tipos de victorias existentes.

 Nuestra actividad culminó al caer la tarde y no podemos decir otra cosa más que, esta experiencia en el Hebraica fue un éxito total. Nos llenó mucho ver a personas de todas las edades disfrutando de la batalla rítmica de los números tanto como nosotros. La atención de todo el personal del Centro Cultural fue excelente y nos llevamos un grato recuerdo de toda la comunidad judía. La amabilidad de Raquel y de todas las personas fue el elemento central durante todo el día. A ellos les decimos muchísimas gracias por permitirnos compartir junto a su comunidad de este maravilloso día.
 


jueves, 26 de septiembre de 2013

Primer Torneo de Rithmomachia

El viernes 17 de mayo del 2013 se celebró el 1er Torneo abierto de Rithmomachia en Venezuela, competición llevada a cabo en la Facultad de Ciencias de la UCV. Este torneo fue realizado gracias al apoyo del Prof. Tomas Guardia, el grupo Pro-Ciencias, y los jugadores Edgar Gomero y Keinny M. Cristóbal. Tuvo una participación de diez competidores, en el cual resultó ganador el estudiante de 4to semestre de matemática de la UCV, Keinny Manuel Cristóbal de 20 años de edad.  

Después  de una entrevista que realizara la periodista Andrea Montilla del diario El Nacional al profesor y a los jugadores Keinny M. Cristóbal y Edgar Gomero, el Torneo se inicio. Alrededor de las 11 de la mañana, comenzó la primera ronda. Esta ronda no fue tan extensa, una vez terminada, quedaron cinco competidores, de los cuales el prof. Tomas Guardia tuvo que retirarse por motivos mayores, razón por la cual quedó disputada directamente la semifinal del Torneo. 
El profesor Tomás Guardia dando las palabras iníciales del Torneo
El profesor Tomás Guardia logró pasar a la segunda ronda pero tuvo que retirarse
El profesor Douglas Jiménez estuvo disponible para participar en el Torneo,
Pero hubo un inconveniente con la laptop y no compitió 
Tres estudiantes de matemáticas y uno de química fueron los clasificados. Ya en esta etapa, la complejidad de las jugadas, la precaución y la concentración de los jugadores era aun mayor. Esto hizo que las partidas durarán aproximadamente 35 minutos cada una.

En la mesa del fondo disputándola Manuel Cristóbal (camisa azul) vs Edgar Gomero
Semifinales
A la izquierda Leonardo Toglia (franela marrón) vs Ronald Peinado
Semifinales

 
Una de estas partidas de semifinales fue la disputada por Keinny M. Cristóbal y Edgar Gomero. Esta partida fue muy disputada. Cada uno dejo en el tablero sus mejores movimientos, y eso se notó. En varias ocasiones se invertían los lideratos en cuanto a los puntos. Después de que pasara media hora la partida tuvo un ganador, Keinny M. Cristóbal el cual ganaría el Torneo.
Ya en la final, quedaron los jugadores Ronald Peinado y Keinny M. Cristóbal estudiantes de química y matemática respectivamente. En esta etapa del Torneo, por las palabras de los propios jugadores, se sentía en parte la satisfacción de los buenos resultados, y aunque estaban un poco extenuados, eso no fue excusa para desarrollar una excelente partida de Rithmomachia. Al final, Keinny M. Cristóbal se alzaría con la victoria.

Ronald Peinado (estudiante de química) vs Keinny Manuel Cristóbal (estudiante de matemática)
Gran Final
Campeón del Primer Torneo abierto de Rithmomachia
Keinny Manuel Cristóbal
“Me voy contento con los resultados obtenidos, fue una disputa larga y difícil. En un momento  de la final mi rival estuvo casi por empatarme en puntos, sin embargo la jugada que había preparado tuvo éxito, aseste el golpe, y logre así la victoria” comenta Keinny M. Cristóbal
 

domingo, 31 de marzo de 2013

Del Centro Al Crepúsculo

Las actividades de difusión del Club Venezolano de Rithmomachia continuaron expandiéndose fuera de Caracas. La semana pasada tuvo bastante actividad. Todo comenzó en el marco de las XXVI Jornadas de la Asociación Matemática Venezolana que tuvieron como sede la ciudad de Valencia, estado Carabobo y se celebraron en los espacios de la Facultad de Ciencias y Tecnología de la Universidad de Carabobo. El martes 19 de marzo nuestro presidente Tomás Guardia presentó en una plenaria el documento principal "Rithmomachia: Batalla rítmica de los números", en un auditorio al cual asistieron cerca de 40 personas. Se expuso los orígenes, historia, reglas y ejemplos de Rithmomachia. Las preguntas de la audiencia no se hicieron esperar, desde comentarios a los movimientos así como la impaciente explicación sobre las distintas formas de obtener la victoria hicieron de la presentación de nuestro principal documento oficial una jornada extraordinaria, que despertó la curiosidad por la práctica del juego medieval de los estudiantes de la Universidad de Los Andes.

Al día siguiente nuestro vicepresidente Douglas Jimenez inició la jornada bien temprano en la mañana del 20 de marzo con los muchachos de la ULA, estudiantes de otras universidades y profesores que aprovecharon el momento del refrigerio, para acercarse al cafetín para escuchar con atención las explicaciones de las reglas. Con una posterior incorporación del presidente Tomás Guardia se iniciaron las partidas de exhibición que estaban programadas por el comité organizador de las jornadas, encabezados por la profesora Hannen Hana a quien le manifestamos nuestro más sincero agradecimiento por permitir que el Club Venezolano de Rithmomachia estuviera presente durante las jornadas. Como ya es habitual, la energía de la juventud se impuso en la primera partida en donde los muchachos de Mérida derrotaron consecutivamente al vicepresidente y luego al presidente del Club. Hecho que nos alegra profundamente ya que hemos venido insistiendo en que mientras los jóvenes practiquen Rithmomachia nuestras inestables reglas irán convergiendo hacia una sólida estabilidad y poco a poco se desarrollarán las necesarias estrategias del juego, que permitan una mayor comprensión y disfrute lúdico en momentos de distracción y esparcimiento por parte de las personas; esto, por cierto, es uno de los objetivos principales del Club Venezolano de Rithmomachia. Pero volviendo al relato de la crónica, quienes se quedaron en las actividades de exhibición mostraron muchísimo interés por Rithmomachia y el vicepresidente del Club le insistió a los muchachos de La Hechicera (localidad merideña en donde se encuentra la Facultad de Ciencias de la ULA) que fundaran un club en la Universidad de Los Andes, ojalá tengamos prontas noticias de la creación del Club Merideño de Rithmomachia.



La directiva del Club se trasladó a Barquisimeto, tierra crepuscular de hermosos atardeceres, en donde continuaron las actividades de promoción y difusión del club. El día continuó con una emocionante entrevista que la comunicadora social Yayett Peralta, en la emisora Fama 98.1 FM, realizara a la directiva del club. Los productores del programa pidieron que se les explicara con más calma las reglas del juego. Esto motivó una improvisada pero muy amena exhibición por parte de nosotros en donde desbocamos nuestra pasión por Rithmomachia, tanto, que hasta el animador de televisión Jorge Rivero propuso presentar el juego en un programa de concursos. Luego de la entrevista en Fama nos traslasdamos hacia las intalaciones del diario El Impulso en donde nos hicieron una entrevista y prometieron un reportaje de una página completa en la sección educativa de este diario barquisimetano; estamos a la espera del reportaje que saldrá publicado durante los primeros días del mes de abril.

El viernes 22 de marzo el día comenzó en Agua Viva con una visita hacia la casa del maestro artesano y experto jugetero Alexander Osío. En compañia de su hija Ivanna, Alexander nos mostró algunos de sus jugetes didácticos en donde se puede observar la excelente calidad de su trabajo. Alexander es el fabricante de nuesrtos tableros y nuestra visita sirvió para confirmar la elaboración de algunos tableros que fueron encargados por miembros y seguidores del club. Para adquirir los tableros que elabora Alexander deben ponerse en contacto directamente con nuestro vicepresidente Douglas Jiménez (dougjim@gmail.com).
Después de un descanso en La Dulcería de Santa Rosa (lugar de descanso permanente de la Divina Pastora), en donde además de la bellísima vista panorámica de Barquisimeto, disfrutamos de unas expectaculares tortas que serían la envidia de cualquier pastelería caraqueña, nos dirigimos hacia las intalaciones de la radio universitaria de la Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado UCLAVISIÓN, allí fuimos atendidos amigablemente por José (Cheo) Noguera, el director, quien hizo una extraordinaria entrevista radial que mucho nos satisfizo. Esta entrevista fue grabada y cuando dispongamos del audio, con muchísimo gusto la colocaremos en el blog para que ustedes, amables lectores, puedan escucharla.

Así concluyó la jornada en donde presentaciones, partidas de exhibición, entrevistas de radio, propuestas de televisión y notas de prensa hicieron de la semana pasada otra agradable experiencia y desde dos hermosas ciudades de nuestro país, pudimos continuar mostrando nuestra gran pasión hacia el juego de los filósofos. Hasta una próxima entrega.







sábado, 9 de marzo de 2013

Para jugar rithmomachia

Hay dos documentos oficiales disponibles para obtener las reglas de rithmomachia aprobadas por el Club Venezolano de Rithmomachia: uno es la presentación oficial del juego, muy completa: con algo de su historia, de la explicación de los valores de las fichas, de las reglas del juego (con ejemplos visuales) y de la nomenclatura algebraica usada para jugar a la distancia y preservar las partidas.

El otro documento es algo más escueto, pero es transportable, se puede imprimir para llevar de un lado para otro. Se llama ¿Cómo se juega rithmomachia? Contiene básicamente las reglas del juego; estamos pensando en añadirle la nomenclatura algebraica, lo haremos en estos días.

(Para  los que tienen poca experiencia usando blogs: los letreros en azul son enlaces hacia los documentos.)

Recuerden que estos documentos son variables, aunque esperamos que sus cambios vayan disminuyendo con el correr del tiempo hacia cierta estabilidad. Por ahora, el último cambio fue realizado el 3 de marzo de 2013 y -a partir de esa entrega- van a llevar la fecha impresa para que sepan si lo tienen actualizado.

Ambos documentos son importantes para proceder a jugar; de hecho son complementarios. Se recomienda a los jugadores leer ambos y bajarlos. Incluso, a la hora de jugar, es bueno cargar a mano el documento transportable para evitar caer en discusiones ociosas. La presentación sirve para fijar las ideas, ya que tiene ejemplos para cada tipo de jugada, cosa de la que carece el otro documento.

Tenemos quien haga tableros, pero es un artesano de Agua Viva, estado Lara, y trabaja sobre pedidos. Sin embargo, no olviden que no es difícil hacerse un tablero propio usando cartulina doble faz o foamy. A lo mejor la madera balsa es una buena idea para las piezas, mientras que se pueden hacer tableros en un pedazo de tela blanca resistente. Un buen carpintero con un buen modelo podría hacer tableros respetables. ¿Conocen alguno? ¿Lo pueden localizar?

¡Esperamos por ustedes! Los invitamos a escribir al correo de Anicio Boecio (club.rithmomachia.ucv@gmail.com), a hacer cualquier clase de pregunta, a proponer artículos propios para este blog, a criticar las reglas aprobadas, a sugerir mejoras, a invitar a otros a jugar rithmomachia personalmente o por Skype (o cualquier cosa que se parezca a Skype)

Sigan a Anicio Boecio por twitter: @rithmomachiaucv. Inviten a otros: aumenten el número de seguidores.

miércoles, 27 de febrero de 2013

Rithmomachia en "Continuidad y cambio"

La revista electrónica  Continuidad y cambio, dirigida por el ex-rector Luis Fuenmayor Toro, acaba de editar y publicar su último número, en el cual incluye un artículo con el nombre ¿Cómo se juega Rithmomachia?, que contiene las reglas aprobadas hasta ahora por nuestro club.

Hagan click en el enlace anterior, para que puedan bajar la revista y descargar éste y otros interesantes artículos de la misma.

lunes, 25 de febrero de 2013

En el programa "La guarandinga"


Hoy se realizó la tan esperada entrevista en el programa La guarandinga, animado por Valentina Quintero y Alonso Moleiro. Arriba pueden ver a nuestro presidente, Tomás Guardia, con los animadores del programa. El vicepresidente, Douglas Jiménez, también estuvo presente pero a través de la línea telefónica, desde el lejano Cabudare, en el estado Lara.

Se trató de presentar el juego como lo que es: una manera divertida de hacer matemática. Mientras se siga pensando que la matemática es una cosa espeluznante, vamos a conseguir poca gente que quiera practicarla, pero no solo eso sino que seguiremos en esta situación en la que algunas personas hasta se enorgullecen de no saber de matemática ni lo elemental. La práctica de rithmomachia puede ayudar a solventar esto y difundir ese mensaje fue nuestro principal objetivo en el programa de hoy.

Ya tenemos disponible el audio de la entrevista, la pueden bajar por el enlace anterior.

Un miembro del club, Rafael Sánchez Lamoneda, presidente de la Asociación Venezolana de Matemáticas y la Asociación Venezolana de Competencias Matemáticas, envió su felicitación por el programa, lo cual se agradece, pero eso no es todo: está proponiendo actividades de rithmomachia tanto para las Jornadas Venezolanas de Matemática de Valencia, como para la Olimpiada Juvenil de Matemática, en Barquisimeto. Asimismo, hay una propuesta de regalar tableros de rithmomachia en la olimpiada como premios a los participantes destacados.

Esperamos oír más ideas como éstas de todos ustedes, nuestros seguidores.

jueves, 21 de febrero de 2013

Un programa de radio

Amig@s:

Los invitamos a sintonizar, el lunes próximo 25/02, a las 8:00 a.m. el programa "La guarandinga", por Onda la Superestación, manejado por Valentina Quintero y Alonso Moleiro. En él estarán los profesores Douglas Jiménez y Tomás Guardia hablando del juego de rithmomachia.

En Caracas pueden sintonizar por 107.9 FM, en Barquisimeto por 104.5 FM. Para otras partes del país pueden buscar el dial por la página de la emisora. Si no tienen radio, pueden sintonizar por la propia página web.

Así que no tienen pretexto. Si se lo pierden es porque quieren, después no digan que no les dijimos. Coloquen sus comentarios en esta misma entrada del blog: tenemos muchas ganas de leerlos.

Abrazo a tod@s.

martes, 22 de enero de 2013

Modificación del documento maestro

Queremos comunicar a los seguidores de este blog que se han hecho importantes modificaciones al documento maestro Rithmomachia: batalla rítmica de los números, el cual contiene, entre otras cosas, las reglas del juego, tal como las hemos interpretado hasta este momento. Pueden descargarlo desde el enlace anterior.

Sígannos en twitter por @rithmomachiaucv.

lunes, 14 de enero de 2013

Acerca de las piezas de rithmomachia

Vamos a dedicar esta entrada a explicar los valores de las piezas de juego de rithmomachia; cada pieza del juego tiene dos caras: una blanca y una negra; sobre cada una de las caras va el mismo número; hay una excepción que comentaremos posteriormente. Te recordamos, lector, que las reglas (provisionales, hasta donde las conocemos) del juego están en la presentación Rithmomachia: batalla rítmica de los números, la cual puedes descargar desde este mismo enlace. En realidad, el conocimiento del tema que vamos a tratar en esta entrada no es necesario para poder jugar rithmomachia, pero este blog está hecho justamente para hablar de las interioridades o intimidades del juego.


Como de seguro saben quienes ya han leído la presentación anterior, el juego fue inventado como una manera de apoyar la enseñanza de la aritmética según se describe esta materia en el tratado De Institutione Arithmethica de Boecio. Este libro es una traducción libre de un manual de aritmética escrito por el pitagórico Nicómaco, en el siglo I d.C. (A la izquierda tenemos la portada de un ejemplar de una traducción al inglés. No ha sido fácil conseguir traducción castellana; si alguien conoce como llegar a alguna puede comunicarse con el club al correo electrónico club.rithmomachia.ucv@gmail.com.)



El pitagorismo permitió desarrollar mucha ciencia alrededor del concepto de número, pero sobre la base de una visión mística de este concepto. Bueno es agregar que lo que ellos concebían como número era distinto de nuestra propia concepción, la cual evolucionó a partir de la que nos legaron estos filósofos místicos.


Para los pitagóricos, el número (αριθμως, arithmos) denotaba lo múltiple, por lo cual solo era número lo que ahora los matemáticos conocen como entero positivo mayor que uno, es decir: 2, 3, 4, 5, etc.. Ni siquiera la unidad (μονας, monas) era un número, pues se refería a lo singular, lo que no tenía variedad en sí mismo. Sin embargo, la unidad constituía a los números: un número se hacía a partir de más de una unidad. Hoy esto es algo enredado, pero a ellos les sirvió para desarrollar un corpus matemático, cuya vigencia atravesó muchas épocas históricas y no fue sino hasta el siglo XIX que los matemáticos pudieron penetrar la verdadera generalidad del concepto.

El libro de Boecio comienza separando los números en pares e impares; el juego de rithmomachia se presenta como una batalla entre dos ejércitos de números uno de los cuales lleva los pares a la vanguardia, mientras que el otro se apoya en los impares. Estos números están escritos sobre piezas circulares. Los pares escogen mostrar su cara blanca, los impares su cara negra (algunas versiones lo hacen al contrario):


(A partir de esta fila generaremos nuevas filas con nuevos números y formas. Cada fila dependerá de la anterior a ella y, por lo tanto, de todas las anteriores a ella.)

Después de analizar las diferentes formas en que pueden definirse y clasificarse lo par y lo impar, Boecio estudia distintas maneras de transformar los números, es decir, hacer aparecer nuevos números a partir de números dados. A la primera de estas transformaciones se le llama Multiplex: es lo que hoy denominamos simplemente múltiplos del número: significa que un número está dentro de otro un cierto número de veces; por ejemplo, 12 es multiplex de 4, ya que lo contiene 3 veces. Una segunda fila de círculos en rithmomachia se obtiene colocando multiplex de la primera fila: cada número se repite tantas veces como él mismo; de esta manera aparecen los cuadrados de los números de la fila anterior:


Una segunda transformación de los números se llama Superparticularis; esto quiere decir que se toma el número más una parte de él. Por ejemplo, ya que 8 tiene mitad 4, 12 sería uno sus superparticularis pues 12=8+4; ya que 15 tiene tercera parte 5, entonces 20 es uno de sus superpaticularis: 20=15+5; pero, además, 18 también es superparticularis de 15, ya que 18=15+3 y 3 es la quinta parte de 15. Las siguientes dos filas de números en rithmomachia se escriben sobre piezas en forma de triángulos y corresponden a superparticularis, donde se transforman los números de la última fila, usando el número original como parte. Por ejemplo la tercera fila es:

en la que 6=4+2 (4 y su media parte), 20=16+4 (16 y su cuarta parte), ..., 12=9+3 (9 y su tercera parte), 30=25+5 (25 y su quinta parte), etc. Observa que la tercera fila viene siendo la suma de las dos primeras, ficha a ficha.

La fila de triángulos a continuación (la cuarta fila) proviene de esta última por superparticularis con el mismo procedimiento anterior, resultando

en la que se tiene 9=6+3 (6 y su media parte), 25=20+5 (20 y su cuarta parte), ..., 16=12+4 (12 y su tercera parte), 36=30+6 (30 y su quinta parte), etc. Se ve que esta fila está hecha de números cuadrados: a cada número de la primera fila se le suma 1 y el resultado se multiplica por sí mismo: 2+1=3, 3x3=9; 4+1=5, 5x5=25,..., 3+1=4, 4x4=16; 5+1=6, 6x6=36, etc..

La tercera transformación que se estudia en el libro de Boecio es la de los Superpartientes; lo que significa que se toma el número y varias partes de él. Es fácil notar lo pitagórico de estas dos últimas definiciones: varios es de naturaleza distinta de una. Algunos ejemplos nos pueden ayudar a comprender: 25 es superpartiente de 15 ya que 25=15+10 y 10 representa las dos terceras partes de 15; 56 es superpartiente de 35, ya que 56=35+21 y 21 representa las tres quintas partes de 35.

Las dos últimas filas que vamos a generar son de piezas cuadradas y los números sobre ellas son superpartientes de la última fila anterior. Vamos a tomar de cada número el mayor número de partes posibles sin abarcarlo completo; así, si vamos a dividir en dos partes solo podemos tomar una de esas partes; si vamos a dividir en tres partes, tomaremos dos de ellas; si vamos a dividir en cuatro partes, tomaremos tres de esas cuatro; etc. Entonces la siguiente fila de piezas es:


en donde 15=9+6 (9 más sus dos terceras partes); 45=25+20 (25 más cuatro quintas partes de 25); ...;  28=16+12 (16 más sus tres cuartas partes); 66=36+30 (36 más cinco de sus sextas partes); etc. En la práctica, esta fila de números proviene de sumar las últimas dos ya colocadas.

Pero, lector, debes tener alguna incomodidad, ¿no es cierto? Claro... ¿no dijimos que las piezas de esta fila eran cuadrados? ¿por qué los valores 91 y 190 tienen una forma tan extraña? En verdad, se trata de dos irregularidades: las llamamos pirámides, pero dejaremos su descripción para dentro de algunos párrafos, porque tenemos que terminar la última fila que vamos a construir. Por supuesto, que la construiremos a partir de la que acabamos de hacer, tomando los superpartientes correspondientes, de la misma manera en que se acaban de tomar, por lo que resulta:


donde vemos que 25=15+10 (15 más sus dos terceras partes); 81=45+36 (45 más sus cuatro quintas partes); ...; 49=28+21 (28 más sus tres cuartas partes); 121=66+55 (66 más cinco de sus sextas partes); etc. Cabe preguntarse si no hay fórmula que permita obtener estos números a partir de los de la primera fila; por supuesto que sí: tome el número de la primera fila, múltiplíquelo por 2, sume 1 y el resultado multiplíquelo por sí mismo: 2x2+1=5, 5x5=25; 2x4+1=9, 9x9=81; ...; 2x3+1=7, 7x7=49; 2x5+1=11, 11x11=121; etc.

(A los aficionados al álgebra no suele gustarles las descripciones verbales anteriores. Pero es un ejercicio sencillo realizar los cálculos simbólicos correspondientes.)


Resumamos con un gráfico único nuestras cuentas:
y ya tenemos todas las piezas con las que se juega rithmomachia. No es así como se colocan en el tablero de juego para comenzar las partidas. Nuestra presentación del juego te muestra cómo hacerlo.

Vamos a explicar finalmente que pasa con las dos irregularidades encontradas. La tradición pitagórica definió los números piramidales como aquellos que se obtienen sumando cuadrados consecutivos; los cuadrados consecutivos son 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, etc. La idea gráfica es que si coloco en una pila, de mayor a menor desde la base, un conjunto de cuadrados (hablamos de figuras), voy a obtener una pirámide. Los números 91 y 190 son números piramidales, en efecto 91=1+4+9+16+25+36 y 190=16+25+36+49+64. Sin embargo, los inventores de rithmomachia pensaron que una pieza como esta tenía que gozar de las propiedades de todas las piezas del tablero, por eso construyeron las pirámides con piezas, de tamaño descendente, de las tres formas distintas, como vemos a continuación:
Las piezas que constituyen las pirámides son la única excepción a la regla de que una pieza debe tener ambos colores: hay una pirámide blanca y una negra. La pirámide blanca termina en una cúspide cuyo valor es 1, lo cual resalta la visión pitagórica de la unidad como distinta de los números.